Cho phươnh trình \(x^2-2\left(m-1\right)x^2+m^2-3m=0\)
a. Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)
b. Tìm GTNN của biểu thức B = \(x_1^2+x_2^2+7\)
Cho phương trình \(x^2-2\left(m+1\right)+2m-3=0\)
Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thoản mãn biểu thức \(P=\left|\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|\)
đạt GTNN
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm pb với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(P=\left|\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|\ge0\)
\(\Rightarrow P_{min}=0\) khi \(x_1+x_2=0\Leftrightarrow m=-1\)
Đề là yêu cầu tìm max hay min nhỉ? Min thế này thì có vẻ là quá dễ
1 . Cho pt :\(x^2-mx+m-1=0\) . Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và biểu thức \(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x^2_1+x^2_2+2\left(x_1x_2+1\right)}\) đạt GTLN
2.Giả sử m là giá trị để phương trình \(x^2-mx+m-2=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\dfrac{x_1^{^2}-2}{x_1-1}.\dfrac{x^2_2-2}{x_2-1}=4\) . Tìm các giá trị của m
1.
\(a+b+c=0\) nên pt luôn có 2 nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)
\(A=\dfrac{m^2+2-\left(m^2-2m+1\right)}{m^2+2}=1-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m^2+2}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=1\)
2.
\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{\left(x_1^2-2\right)\left(x_2^2-2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=4\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2-2m^2+4\left(m-2\right)+4}{m-2-m+1}=4\)
\(\Rightarrow-m^2=-4\Rightarrow m=\pm2\)
Cho phương trình : \(x^2+\left(3m+2\right)x+3m=0\).
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) sao cho biểu thức \(Q=\left(x_1+1\right)^4+\left(x_2+1\right)^4\) đạt giá trị nhỏ nhất .
\(\Delta=\left(3m+2\right)^2-12m=9m^2+4>0\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-3m-2\\x_1x_2=3m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+1+x_2+1=-3m\\x_1x_2+x_1+x_2+1=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+1+x_2+1=-3m\\\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=-1\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+1=a\\x_2+1=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-3m\\ab=-1\end{matrix}\right.\)
\(Q=a^4+b^4\ge2a^2b^2=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a^2=b^2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\left(loại\right)\\a=-b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-3m=0\Rightarrow m=0\)
1) Cho pt \(5x^2-7x+1=0\)
a) C minh pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\)
b) Tính giá trị biểu thức \(A=\left(x_1-\dfrac{7}{5}\right)x_1+\dfrac{1}{25x^2_2}+x^2_2\)
2) Cho pt \(x^2-4+1-2m=0\) (x là ẩn số)
a) tìm m để pt có nghiệm
b) tìm m để 2 nghiệm \(x_1,x_2\) của pt thỏa \(x^2_1+x^2_2=6\)
`1)`
$a\big)\Delta=7^2-5.4.1=29>0\to$ PT có 2 nghiệm pb
$b\big)$
Theo Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{7}{5}\\x_1x_2=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(x_1-\dfrac{7}{5}\right)x_1+\dfrac{1}{25x_2^2}+x_2^2\\ \Rightarrow A=\left(x_1-x_1-x_2\right)x_1+\left(\dfrac{1}{5}\right)^2\cdot\dfrac{1}{x_2^2}+x_2^2\\ \Rightarrow A=-x_1x_2+\left(x_1x_2\right)^2\cdot\dfrac{1}{x_2^2}+x_2^2\)
\(\Rightarrow A=-x_1x_2+x_1^2+x_2^2\\ \Rightarrow A=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\\ \Rightarrow A=\left(\dfrac{7}{5}\right)^2-3\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{34}{25}\)
B1: Cho pt \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-5=0\)(1)
a. Tìm m để (1) có 2 nghiệm dương
b. Gọi \(x_1,x_2\)là 2 nghiệm của (1). Tìm m để A=\(\left(\frac{x_1}{x_2}\right)^2+\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2\)nhận GT nguyên
B2: cho pt \(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-3=0\)(1)
a. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu
b. Tìm m để nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia
B3: cho pt \(x^2-\left(3m+1\right)x+2m^2+m-1=0\)(1)
a. cmr pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\)
b. Tìm m để A=\(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2\)đạt GTLN
B4: Cho pt \(x^2+\left(2m+3\right)x+3m+11=0\). Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\ne0\)thỏa mãn \(|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|=\frac{1}{2}\)
B5: cho 2 đường thẳng \(\left(d_1\right):y=\left(m-1\right)x-m^2-m\)và \(\left(d_2\right):y=\left(m-2\right)x-m^2-2m+1\)
a. Xđ tọa độ giao điểm của \(d_1\)và \(d_2\)(điểm G)
b. cmr điểm G thuộc 1 đường thẳng cố định khi m thay đổi
B6: cho pt \(2x^2-4mx+2m^2-1=0\)(1)
a. cmr pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\)
b. tìm m để pt (1) có 2 nghiệm thỏa mãn \(2x_1^2+4mx_2+2m^2-1>0\)
B7: cho pt \(x^2-2mx-16+5m^2=0\)(1)
a. tìm m để (1) có nghiệm
b. gọi \(x_1,x_2\)là 2 nghiệm của (1). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A=\(x_1\left(5x_1+3x_2-17\right)+x_2\left(5x_2+3x_1-17\right)\)
cho pt: \(x^2-\left(2m-1\right)x+m^2-1=0\) (1)
a) tìm điều kiện của m để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
b) tìm m để 2 ngiệm \(x_1\), \(x_2\) của pt (1) t/m: \(\left(x_1-x_2\right)^2=x_1-3x_2\)
giúp mk vs mk cần gấp
a. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=5-4m>0\)
\(\Rightarrow m< \dfrac{5}{4}\)
b. Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1-x_2\right)^2=x_1-3x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=x_1-3x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=x_1-3x_2\)
\(\Leftrightarrow x_1-3x_2=5-4m\)
Kết hợp hệ thức Viet ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1-3x_2=5-4m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\4x_2=6m-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+1}{2}\\x_2=\dfrac{3m-3}{2}\end{matrix}\right.\)
Thế vào \(x_1x_2=m^2-1\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{m+1}{2}\right)\left(\dfrac{3m-3}{2}\right)=m^2-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-1=0\Rightarrow m=\pm1\) (thỏa mãn)
giải chi tiết với ak
cho pt ẩn x: \(x^2-2\left(m-3\right)x+m^2+3=0\) với m là tham số
a) tìm giá trị của m để pt có 2 nghiệm
b) gọi \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của pt. tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn hệ thức \(\left(x_1-x_2\right)^2-5x_1x_2=4\)
a) ∆' = [-(m - 3)]² - (m² + 3)
= m² - 6m + 9 - m² - 3
= -6m + 6
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thì ∆' ≥ 0
⇔ -6m + 6 ≥ 0
⇔ 6m ≤ 6
⇔ m ≤ 1
Vậy m ≤ 1 thì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm
b) Theo định lý Viét, ta có:
x₁ + x₂ = 2(m - 3) = 2m - 6
x₁x₂ = m² + 3
Ta có:
(x₁ - x₂)² - 5x₁x₂ = 4
⇔ x₁² - 2x₁x₂ + x₂² - 5x₁x₂ = 4
⇔ x₁² + 2x₁x₂ + x₂² - 2x₁x₂ - 2x₁x₂ - 5x₁x₂ = 4
⇔ (x₁ + x₂)² - 9x₁x₂ = 4
⇔ (2m - 6)² - 9(m² + 3) = 4
⇔ 4m² - 24m + 36 - 9m² - 27 = 4
⇔ -5m² - 24m + 9 = 4
⇔ 5m² + 24m - 5 = 0
⇔ 5m² + 25m - m - 5 = 0
⇔ (5m² + 25m) - (m + 5) = 0
⇔ 5m(m + 5) - (m + 5) = 0
⇔ (m + 5)(5m - 1) = 0
⇔ m + 5 = 0 hoặc 5m - 1 = 0
*) m + 5 = 0
⇔ m = -5 (nhận)
*) 5m - 1 = 0
⇔ m = 1/5 (nhận)
Vậy m = -5; m = 1/5 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu
a: \(\Delta=\left[-2\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m^2+3\right)\)
\(=\left(2m-6\right)^2-4\left(m^2+3\right)\)
\(=4m^2-24m+36-4m^2-12=-24m+24\)
Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta>=0\)
=>-24m+24>=0
=>-24m>=-24
=>m<=1
b: Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left[-2\left(m-3\right)\right]}{1}=2\left(m-3\right)\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m^2+3\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1-x_2\right)^2-5x_1x_2=4\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2-5x_2x_1=4\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-9x_1x_2=4\)
=>\(\left(2m-6\right)^2-9\left(m^2+3\right)=4\)
=>\(4m^2-24m+36-9m^2-27-4=0\)
=>\(-5m^2-24m+5=0\)
=>\(-5m^2-25m+m+5=0\)
=>\(-5m\left(m+5\right)+\left(m+5\right)=0\)
=>(m+5)(-5m+1)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}m+5=0\\-5m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-5\left(nhận\right)\\m=\dfrac{1}{5}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
`x^2 -(m+1)x+m=0`
tìm m để pt có 2 nghiệm `x_1 , x_2` thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)-x_1-x_2+5\)
\(\text{Δ}=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot m\)
\(=\left(m+1\right)^2-4m\)
\(=\left(m-1\right)^2>=0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)-x_1-x_2+5\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+6\)
=>\(\left(m+1\right)^2-2m=m-2\left(m+1\right)+6\)
=>\(m^2+1=m-2m-2+6\)
=>\(m^2+1=-m+4\)
=>\(m^2+m-3=0\)
=>\(m=\dfrac{-1\pm\sqrt{13}}{2}\)
Cho pt \(x^2-\left(2m+5\right)x+2m+1=0\). Tìm m để pt có 2 nghiệm \(x_1\), \(x_2\) thỏa mãn \(P=\left|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right|\) đạt GTNN.
\(\Delta=4m^2+20m+25-8m-4=4m^2+12m+21=\left(2m+3\right)^2+12>0\)
với mọi m => pt có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
theo Viet (điều kiện m > -1/2)
\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m+5\\x1.x2=2m+1\end{matrix}\right.\)
\(p^2=x1-2\left|\sqrt{x1.x2}\right|+x2=2m+5-2\sqrt{2m+1}=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+3\ge3< =>p\ge\sqrt{3}\)
dấu bằng xảy ra khi \(\sqrt{2m+1}=1< =>m=0\left(tm\right)\)